166 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N – середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О – середина отрезка ММ.

Дано: AO = BO, CO = DO, AM = MC, BN = ND.

Доказать: MO = ON.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник AOC: AM = MC, следовательно, OM - медиана.

Рассмотрим треугольник BOD: BN = ND, следовательно, ON - медиана.

Так как AO = BO и CO = DO, то AC = BD.

Тогда AM = MC = BN = ND.

Рассмотрим треугольники AOM и BON:

1. AO = BO (по условию)
2. AM = BN (по условию)
3. ∠MAO = ∠NBO (как вертикальные)

Следовательно, ΔAOM = ΔBON по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Тогда MO = ON, что и требовалось доказать.

Ответ: Точка O – середина отрезка MN.