165 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и К, так, что АК = ВК1. Докажите, что: а) ОК = ОК₁; б) точка О лежит на прямой КК1.

Дано: О - середина АВ и CD, АК = ВК₁.

Доказать: а) ОК = ОК₁; б) точка О лежит на прямой КК₁.

Решение:

а) Рассмотрим треугольники АОК и ВОК₁:

1. АО = ВО (т.к. О - середина АВ).
2. СО = DO (т.к. О - середина CD).
3. ∠AОK = ∠BOK₁ (как вертикальные).

Тогда ΔАОК = ΔВОК₁ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что ОК = ОК₁.

б) Так как ΔАОК = ΔВОК₁, то ∠ОКА = ∠ОК₁В. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых КК₁ и АВ и секущей КК₁. Следовательно, КК₁ || АВ. Так как точка О лежит на АВ, то она также лежит на прямой КК₁.

Ответ: а) ОК = ОК₁; б) точка О лежит на прямой КК₁.