164 На сторонах равносторон ABC отложены равные отрезки AD, ВЕ И CF, как показано на рисунке 93. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF - равносторонний.

Для доказательства того, что треугольник DEF равносторонний, нужно доказать, что все его стороны равны, то есть DE = EF = FD.

Рассмотрим треугольники ADE, BEF и CDF. В этих треугольниках:

1. AD = BE = CF (по условию).
2. AE = BF = CD (так как AC = BC = AB и AD = BE = CF).
3. ∠A = ∠B = ∠C = 60° (так как ABC - равносторонний).

Следовательно, треугольники ADE, BEF и CDF равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует, что DE = EF = FD. Таким образом, треугольник DEF равносторонний.

Ответ: Треугольник DEF - равносторонний, что и требовалось доказать.