105. Две окружности пересекают- ся в точках Ми М. Прямая, проходящая через точку М, пересекает окружности в точ- ках А и В, а прямая, про- ходящая через точку №, в точках С и Д (рис. 17). Найдите угол ВАС, если LABD 108°.

Для решения задачи необходимо использовать свойства вписанных углов и углов между пересекающимися хордами в окружности.

1. Обозначим точки пересечения окружностей как M и N. Прямая, проходящая через M, пересекает окружности в точках A и B, а прямая, проходящая через N, пересекает окружности в точках C и D.

2. Из условия ∠ABD = 108°. Нам нужно найти угол ∠BAC.

3. Угол ∠ABD является вписанным углом в окружность, проходящую через точки A, M, C, N. Аналогично, угол ∠BAC является вписанным углом в окружность, проходящую через точки B, M, D, N.

4. Заметим, что четырехугольник ABDC вписан в две окружности. Поскольку угол ∠ABD = 108°, то угол ∠ACD = 180° - ∠ABD = 180° - 108° = 72° (по свойству вписанного четырехугольника, сумма противоположных углов равна 180°).

5. Рассмотрим углы ∠BAC и ∠BDC. Углы ∠BAC и ∠BDC опираются на одну и ту же дугу BC. Значит, они равны.

6. Четырехугольник CDNM вписан в окружность, поэтому ∠MCD + ∠MND = 180°. Также четырехугольник ABM вписан в окружность, поэтому ∠MBA + ∠MNA = 180°.

7. Так как ABCD является четырехугольником, вписанным в две окружности, то ∠BAC = ∠BDC.

8. Обозначим искомый угол ∠BAC = x. Тогда ∠BDC = x. Рассмотрим треугольник ABD. В нем ∠BAD + ∠ABD + ∠BDA = 180°. Тогда ∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠BDA = 180° - 108° - ∠BDA.

9. Угол ∠BDA можно выразить через угол ∠BCA. ∠BDA = ∠BCA, так как они опираются на одну и ту же дугу BA.

10. Следовательно, ∠BAC = 72°.

Ответ: 72°