104. В четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABC = 68°, LADC 112°, ∠BAC = 23°, ∠DAC = 52°. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежа- щий стороне AD.

Для решения задачи необходимо рассмотреть четырехугольник ABCD и применить знания о сумме углов треугольника и четырехугольника.

1. Найдем углы треугольника ABC:

• ∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 23° - 68° = 89°

2. Найдем углы треугольника ADC:

• ∠DCA = 180° - ∠DAC - ∠ADC = 180° - 52° - 112° = 16°

3. Найдем углы четырехугольника ABCD:

• ∠BCD = ∠BCA + ∠DCA = 89° + 16° = 105°
• ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 23° + 52° = 75°

4. Обозначим точку пересечения диагоналей как О. Рассмотрим треугольник AOB. Пусть угол между диагоналями ∠AOB = x. Тогда ∠COD = x (как вертикальные углы).

5. Сумма углов четырехугольника равна 360°: ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360° ⇒ 68° + 105° + 112° + 75° = 360°. Это подтверждает, что четырехугольник существует.

6. Рассмотрим сумму углов, прилежащих к стороне AD: ∠BAD + ∠ADC = 75° + 112° = 187°. Рассмотрим сумму углов, прилежащих к стороне BC: ∠ABC + ∠BCD = 68° + 105° = 173°

7. Сумма углов треугольника AOD: ∠OAD + ∠ODA + ∠AOD = 180° ⇒ ∠AOD = 180° - ∠OAD - ∠ODA = 180° - 52° - (180° - 112° - ∠DCA) = 180° - 52° - (68° - 16°) = 180° - 52° - 52° = 76°

8. Угол между диагоналями, противолежащий стороне AD, равен ∠AOD = 76°.

Ответ: 76°