111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 8 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 60 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, в которую вписана окружность. Точка касания окружности делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и x см.

В равнобокой трапеции боковые стороны равны, следовательно, боковая сторона равна 8 + x.

По свойству описанного четырехугольника, сумма противоположных сторон равна. Значит, сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон.

Пусть основания трапеции a и b, тогда a + b = (8 + x) + (8 + x) = 2(8 + x) = 16 + 2x.

Периметр трапеции равен сумме всех сторон: P = a + b + (8 + x) + (8 + x) = a + b + 16 + 2x = 60.

Поскольку a + b = 16 + 2x, подставим это в выражение для периметра: 16 + 2x + 16 + 2x = 60.

Тогда 32 + 4x = 60, следовательно, 4x = 60 - 32 = 28, и x = 28 / 4 = 7 см.

Боковая сторона трапеции равна 8 + x = 8 + 7 = 15 см.

Сумма оснований a + b = 16 + 2x = 16 + 2 × 7 = 16 + 14 = 30 см.

В равнобокой трапеции отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону, равны полуразности оснований. То есть |a - b| / 2 = |8 - 7| = 1. Отсюда |a - b| = 2.

Решим систему уравнений:

• a + b = 30
• a - b = 2

Сложим уравнения: 2a = 32, a = 16 см.

Тогда b = 30 - a = 30 - 16 = 14 см.

Основания трапеции: 16 см и 14 см.

Ответ: 16 см, 14 см