348 Две окружности с центрами О₁ и О2 вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках А и D, а вторая в точках В и С. Докажите, что АВ = CD.

Ответ: доказано, что AB = CD.

Доказательство:

• Пусть данный угол ∠X.
• Окружность с центром O₁ касается сторон угла X в точках A и D.
• Окружность с центром O₂ касается сторон угла X в точках B и C.
• Обозначим вершину угла X как точку P.
• PA и PB — касательные к окружности с центром O₁ из точки P. Следовательно, PA = PD.
• PC и PB — касательные к окружности с центром O₂ из точки P. Следовательно, PB = PC.

Рассмотрим отрезки AB и CD:

• AB = PB - PA
• CD = PC - PD

Так как PA = PD и PB = PC, то PB - PA = PC - PD. Следовательно, AB = CD, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что AB = CD.