356 В треугольнике АВС угол В прямой. Докажите, что: а) пря-мая ВС является касательной к окружности с центром А ра-диуса АВ; б) прямая АВ является касательной к окружности с центром С радиуса СВ; в) прямая АС не является касатель ной к окружностям с центром В и радиусами ВА и ВС.

Ответ: доказательства ниже.

Решение:

a) Докажем, что прямая BC является касательной к окружности с центром A радиуса AB:

• По условию, в треугольнике ABC угол B прямой, то есть ∠ABC = 90°.
• Рассмотрим окружность с центром в точке A радиуса AB. Тогда точка B лежит на этой окружности.
• Прямая BC перпендикулярна радиусу AB в точке B (так как ∠ABC = 90°).
• Следовательно, прямая BC является касательной к окружности с центром A радиуса AB.

б) Докажем, что прямая AB является касательной к окружности с центром C радиуса CB:

• По условию, в треугольнике ABC угол B прямой, то есть ∠ABC = 90°.
• Рассмотрим окружность с центром в точке C радиуса CB. Тогда точка B лежит на этой окружности.
• Прямая AB перпендикулярна радиусу CB в точке B (так как ∠ABC = 90°).
• Следовательно, прямая AB является касательной к окружности с центром C радиуса CB.

в) Докажем, что прямая AC не является касательной к окружностям с центром B и радиусами BA и BC:

• Рассмотрим окружность с центром в точке B и радиусом BA. Точка A лежит на этой окружности.
• Для того чтобы прямая AC была касательной к этой окружности, она должна быть перпендикулярна радиусу BA в точке A. Однако, в общем случае, угол между AC и BA не равен 90°. Следовательно, AC не является касательной к окружности с центром B и радиусом BA.
• Аналогично, рассмотрим окружность с центром в точке B и радиусом BC. Точка C лежит на этой окружности.
• Для того чтобы прямая AC была касательной к этой окружности, она должна быть перпендикулярна радиусу BC в точке C. Однако, в общем случае, угол между AC и BC не равен 90°. Следовательно, AC не является касательной к окружности с центром B и радиусом BC.

Ответ: доказательства выше.