355 Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠ОАВ = 30°, AB = 5 см.

Ответ: BC = 5√3 см.

Решение:

• AB и AC - касательные к окружности с центром O в точках B и C.
• ∠OAB = 30°, AB = 5 см.
• ∠OBA = 90° (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания).

Рассмотрим треугольник ABO:

• tan(∠OAB) = OB / AB
• OB = AB * tan(∠OAB) = 5 * tan(30°) = 5 * (1/√3) = 5/√3 см.

Так как AB и AC - касательные, то OB = OC = 5/√3 см (радиусы).

Рассмотрим треугольник OBC:

• OB = OC (равнобедренный треугольник).
• ∠OBC = ∠OCB.
• ∠BOC = 180° - 2 * ∠OBC.

∠AOB = 90° - ∠OAB = 90° - 30° = 60°.

• ∠BOC = 180° - ∠AOB - ∠AOC = 180° - 60° - 60° = 60°.
• Треугольник OBC - равносторонний.
• BC = OB = OC = 5/√3 см.

Умножим числитель и знаменатель на √3, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

• BC = (5/√3) * (√3/√3) = (5√3) / 3 см.

Ответ: BC = (5√3)/3 см.