I Вариант, Задача 1: Дано: \(\angle A = \angle B\), \(CO = 4\), \(DO = 6\), \(AO = 5\). Найти: а) \(OB\); б) \(AC : BD\); в) \(S_{AOC} : S_{BOD}\).

a) Рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\). У них \(\angle A = \angle B\) (дано) и \(\angle AOC = \angle BOD\) (вертикальные углы). Следовательно, \(\triangle AOC \sim \triangle BOD\) по двум углам. Из подобия следует, что \(\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\). Подставим известные значения: \(\frac{5}{OB} = \frac{4}{6}\). Решим уравнение относительно OB: \(OB = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5\). б) Из подобия треугольников \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\) также следует, что \(\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\). Мы уже знаем, что \(\frac{AO}{BO} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}\) и \(\frac{CO}{DO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Следовательно, \(\frac{AC}{BD} = \frac{2}{3}\). в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Так как \(\triangle AOC \sim \triangle BOD\) с коэффициентом подобия \(k = \frac{2}{3}\), то \(\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\). Ответ: а) \(OB = 7.5\); б) \(AC : BD = 2 : 3\); в) \(S_{AOC} : S_{BOD} = 4 : 9\).