II Вариант, Задача 4*: В трапеции ABCD (AD и BC основания) диагонали пересекаются в точке O, S_{AOD} = 32 см², Ѕвос = 8 см². Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см.

Рассмотрим треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle AOD\). Как и в предыдущей задаче, \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) по двум углам. Отношение площадей этих треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2\). Подставим известные значения: \(\frac{8}{32} = k^2\), откуда \(k^2 = \frac{1}{4}\), и \(k = \frac{1}{2}\). Так как \(k = \frac{BC}{AD}\), то \(\frac{BC}{AD} = \frac{1}{2}\). Из условия большее основание равно 10, то есть \(AD = 10\). Значит, \(BC = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\) см. Ответ: Меньшее основание трапеции равно 5 см.