I Вариант, Задача 4*: В трапеции ABCD (AD и BC основание) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Рассмотрим треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle AOD\). У них \(\angle BOC = \angle AOD\) (вертикальные углы). Поскольку основания трапеции параллельны, углы \(\angle OBC = \angle ODA\) и \(\angle OCB = \angle OAD\) (накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущих BD и AC). Следовательно, \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) по двум углам. Коэффициент подобия \(k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\). Из этого следует, что \(S_{BOC} = \frac{1}{9} S_{AOD} = \frac{1}{9} \cdot 45 = 5\) см². Ответ: Площадь треугольника BOC равна 5 см².