II Вариант, Задача 1: Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) MK; б) PE : NK; в) S_{MEP} : S_{MKN}.

a) Рассмотрим треугольник \(\triangle MNK\). Так как \(PE \parallel NK\), то по теореме Фалеса (или по теореме о пропорциональных отрезках), \(\frac{MP}{PN} = \frac{ME}{EK}\). Мы знаем, что \(MP = 8\) и \(MN = 12\), следовательно, \(PN = MN - MP = 12 - 8 = 4\). Таким образом, \(\frac{8}{4} = \frac{6}{EK}\), откуда \(EK = \frac{6 \cdot 4}{8} = 3\). Следовательно, \(MK = ME + EK = 6 + 3 = 9\). б) Рассмотрим треугольники \(\triangle MEP\) и \(\triangle MKN\). У них \(\angle M\) - общий, и \(\angle MEP = \angle MKN\) (как соответственные углы при параллельных прямых \(PE\) и \(NK\) и секущей MK). Следовательно, \(\triangle MEP \sim \triangle MKN\) по двум углам. Коэффициент подобия \(k = \frac{ME}{MK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\). Следовательно, \(\frac{PE}{NK} = k = \frac{2}{3}\). в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. \(\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\). Ответ: а) \(MK = 9\); б) \(PE : NK = 2 : 3\); в) \(S_{MEP} : S_{MKN} = 4 : 9\).