237 Игральную кость бросают 6 раз. Найдите вероятность того, что шестерка выпадет: а) 3 раза; б) 5 раз; в) 1 раз; г) 6 раз; д) 2 раза; е) ни разу.

Здесь также используется формула Бернулли. Успех - выпадение шестерки, неудача - выпадение любой другой грани. $$n = 6$$ (количество бросаний), $$p = \frac{1}{6}$$ (вероятность выпадения шестерки), $$q = \frac{5}{6}$$ (вероятность не выпадения шестерки). а) Выпадет 3 раза: $$P_6(3) = C_6^3 * (\frac{1}{6})^3 * (\frac{5}{6})^{6-3} = \frac{6!}{3!3!} * (\frac{1}{6})^3 * (\frac{5}{6})^3 = 20 * \frac{1}{216} * \frac{125}{216} = 20 * \frac{125}{46656} = \frac{2500}{46656} ≈ 0.0535$$ б) Выпадет 5 раз: $$P_6(5) = C_6^5 * (\frac{1}{6})^5 * (\frac{5}{6})^{6-5} = 6 * (\frac{1}{6})^5 * (\frac{5}{6})^1 = 6 * \frac{1}{7776} * \frac{5}{6} = \frac{30}{46656} ≈ 0.000643$$ в) Выпадет 1 раз: $$P_6(1) = C_6^1 * (\frac{1}{6})^1 * (\frac{5}{6})^{6-1} = 6 * \frac{1}{6} * (\frac{5}{6})^5 = (\frac{5}{6})^5 = \frac{3125}{7776} ≈ 0.4019$$ г) Выпадет 6 раз: $$P_6(6) = C_6^6 * (\frac{1}{6})^6 * (\frac{5}{6})^{6-6} = 1 * (\frac{1}{6})^6 * 1 = (\frac{1}{6})^6 = \frac{1}{46656} ≈ 0.0000214$$ д) Выпадет 2 раза: $$P_6(2) = C_6^2 * (\frac{1}{6})^2 * (\frac{5}{6})^{6-2} = \frac{6!}{2!4!} * (\frac{1}{6})^2 * (\frac{5}{6})^4 = 15 * \frac{1}{36} * \frac{625}{1296} = 15 * \frac{625}{46656} = \frac{9375}{46656} ≈ 0.201$$ е) Не выпадет ни разу: $$P_6(0) = C_6^0 * (\frac{1}{6})^0 * (\frac{5}{6})^{6-0} = 1 * 1 * (\frac{5}{6})^6 = (\frac{5}{6})^6 = \frac{15625}{46656} ≈ 0.3349$$ Ответ: а) ≈ 0.0535, б) ≈ 0.000643, в) ≈ 0.4019, г) ≈ 0.0000214, д) ≈ 0.201, е) ≈ 0.3349