242 В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью $$p = 0,4$$. Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний: а) наступит более 2 успехов; б) наступит не более 2 неудач; в) не все испытания окончатся неудачей; г) наступит менее 4 успехов.

Здесь вероятность успеха $$p = 0.4$$, значит, вероятность неудачи $$q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$$. а) Наступит более 2 успехов (3, 4): $$P_4(3) = C_4^3 * (0.4)^3 * (0.6)^1 = 4 * 0.064 * 0.6 = 0.1536$$ $$P_4(4) = C_4^4 * (0.4)^4 * (0.6)^0 = 1 * 0.0256 * 1 = 0.0256$$ $$P_4(>2) = P_4(3) + P_4(4) = 0.1536 + 0.0256 = 0.1792$$ б) Наступит не более 2 неудач (0, 1, 2): $$P_4(0) = C_4^0 * (0.6)^0 * (0.4)^4 = 1 * 1 * 0.0256 = 0.0256$$ $$P_4(1) = C_4^1 * (0.6)^1 * (0.4)^3 = 4 * 0.6 * 0.064 = 0.1536$$ $$P_4(2) = C_4^2 * (0.6)^2 * (0.4)^2 = 6 * 0.36 * 0.16 = 0.3456$$ $$P_4(\le 2) = P_4(0) + P_4(1) + P_4(2) = 0.0256 + 0.1536 + 0.3456 = 0.5248$$ в) Не все испытания окончатся неудачей. Это означает, что хотя бы один успех должен быть. Т.е. число успехов > 0. Это противоположное событие к «все испытания - неудачи»: $$P_4(\text{хотя бы 1 успех}) = 1 - P_4(\text{все неудачи}) = 1 - P_4(0)$$ где $$P_4(0) = C_4^0*(0.4)^0*(0.6)^4 = 1 * 1 * 0.1296 = 0.1296$$ $$P_4(\text{хотя бы 1 успех}) = 1 - 0.1296 = 0.8704$$ г) Наступит менее 4 успехов (0, 1, 2, 3): $$P_4(<4) = 1 - P_4(4) = 1 - 0.0256 = 0.9744$$ Ответ: а) 0.1792, б) 0.5248, в) 0.8704, г) 0.9744