239 Случайный эксперимент заключается в пятикратном бросании симметричной монеты. Найдите вероятность события: а) «решка выпадет ровно 3 раза»; б) «орёл выпадет от двух до четырёх раз»; в) «решка выпадет либо 1 раз, либо 3 раза»; г) «орёл выпадет нечётное число раз».

Используем формулу Бернулли: $$P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n-k}$$, где n = 5, p = 0.5, q = 0.5. а) Решка выпадет ровно 3 раза: $$P_5(3) = C_5^3 * (0.5)^3 * (0.5)^2 = \frac{5!}{3!2!} * (0.5)^5 = 10 * \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0.3125$$ б) Орел выпадет от двух до четырех раз: $$P_5(2 \le k \le 4) = P_5(2) + P_5(3) + P_5(4)$$ $$P_5(2) = C_5^2 * (0.5)^2 * (0.5)^3 = \frac{5!}{2!3!} * (0.5)^5 = 10 * \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0.3125$$ $$P_5(4) = C_5^4 * (0.5)^4 * (0.5)^1 = \frac{5!}{4!1!} * (0.5)^5 = 5 * \frac{1}{32} = \frac{5}{32} = 0.15625$$ $$P_5(2 \le k \le 4) = 0.3125 + 0.3125 + 0.15625 = 0.68125$$ в) Решка выпадет либо 1 раз, либо 3 раза: $$P_5(1) = C_5^1 * (0.5)^1 * (0.5)^4 = 5 * (0.5)^5 = 5 * \frac{1}{32} = \frac{5}{32} = 0.15625$$ $$P_5(1 \lor 3) = P_5(1) + P_5(3) = 0.15625 + 0.3125 = 0.46875$$ г) Орел выпадет нечетное число раз (1, 3, 5): $$P_5(1) = C_5^1 * (0.5)^1 * (0.5)^4 = \frac{5!}{1!4!} * (0.5)^5 = 5 * (0.5)^5 = 5 * \frac{1}{32} = \frac{5}{32} = 0.15625$$ $$P_5(3) = C_5^3 * (0.5)^3 * (0.5)^2 = \frac{5!}{3!2!} * (0.5)^5 = 10 * (0.5)^5 = 10 * \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0.3125$$ $$P_5(5) = C_5^5 * (0.5)^5 * (0.5)^0 = \frac{5!}{5!0!} * (0.5)^5 = 1 * (0.5)^5 = \frac{1}{32} = 0.03125$$ $$P_5(1 \lor 3 \lor 5) = 0.15625 + 0.3125 + 0.03125 = 0.5$$ Ответ: а) 0.3125, б) 0.68125, в) 0.46875, г) 0.5