241 В некотором испытании Бернулли неудача наступает с вероятностью $$q = \frac{1}{3}$$. Найдите вероятность того, что в серии из 5 таких испытаний: а) наступит ровно 2 успеха; б) наступит ровно 1 успех; в)* наступит более 2 успехов; г)* наступит менее 4 успехов.

Здесь вероятность неудачи $$q = \frac{1}{3}$$, значит, вероятность успеха $$p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$. а) Наступит ровно 2 успеха: $$P_5(2) = C_5^2 * (\frac{2}{3})^2 * (\frac{1}{3})^{5-2} = 10 * \frac{4}{9} * \frac{1}{27} = \frac{40}{243} ≈ 0.1646$$ б) Наступит ровно 1 успех: $$P_5(1) = C_5^1 * (\frac{2}{3})^1 * (\frac{1}{3})^{5-1} = 5 * \frac{2}{3} * \frac{1}{81} = \frac{10}{243} ≈ 0.0412$$ в) Наступит более 2 успехов (3, 4, 5): $$P_5(3) = C_5^3 * (\frac{2}{3})^3 * (\frac{1}{3})^2 = 10 * \frac{8}{27} * \frac{1}{9} = \frac{80}{243} ≈ 0.3292$$ $$P_5(4) = C_5^4 * (\frac{2}{3})^4 * (\frac{1}{3})^1 = 5 * \frac{16}{81} * \frac{1}{3} = \frac{80}{243} ≈ 0.3292$$ $$P_5(5) = C_5^5 * (\frac{2}{3})^5 * (\frac{1}{3})^0 = 1 * \frac{32}{243} * 1 = \frac{32}{243} ≈ 0.1317$$ $$P_5(>2) = P_5(3) + P_5(4) + P_5(5) = \frac{80}{243} + \frac{80}{243} + \frac{32}{243} = \frac{192}{243} ≈ 0.7901$$ г) Наступит менее 4 успехов (0, 1, 2, 3): $$P_5(0) = C_5^0 * (\frac{2}{3})^0 * (\frac{1}{3})^5 = 1 * 1 * \frac{1}{243} = \frac{1}{243} ≈ 0.0041$$ $$P_5(<4) = P_5(0) + P_5(1) + P_5(2) + P_5(3) = \frac{1}{243} + \frac{10}{243} + \frac{40}{243} + \frac{80}{243} = \frac{131}{243} ≈ 0.5391$$ Ответ: а) ≈ 0.1646, б) ≈ 0.0412, в) ≈ 0.7901, г) ≈ 0.5391