243 Перед началом шахматной партии с помощью жребия игроки определяют, кто играет белыми, а кто — чёрными. Остап Бендер проводит сеанс одновременной игры с любителями шахмат города Васюки на 12 досках. Найдите вероятность того, что он будет играть белыми: а) ровно на 3 досках; б) ровно на 5 досках; в) хотя бы на 1 доске; г) по крайней мере на 2 досках.

Вероятность играть белыми на каждой доске $$p = 0.5$$, так как выбор цвета происходит случайно. а) Ровно на 3 досках: $$P_{12}(3) = C_{12}^3 * (0.5)^3 * (0.5)^9 = \frac{12!}{3!9!} * (0.5)^{12} = 220 * (0.5)^{12} = 220 * \frac{1}{4096} = \frac{220}{4096} ≈ 0.0537$$ б) Ровно на 5 досках: $$P_{12}(5) = C_{12}^5 * (0.5)^5 * (0.5)^7 = \frac{12!}{5!7!} * (0.5)^{12} = 792 * (0.5)^{12} = 792 * \frac{1}{4096} = \frac{792}{4096} ≈ 0.1934$$ в) Хотя бы на 1 доске. Это противоположно событию, что он не играет белыми ни на одной доске. Вероятность играть черными на всех досках: $$P_{12}(0) = C_{12}^0 * (0.5)^0 * (0.5)^{12} = 1 * 1 * (0.5)^{12} = \frac{1}{4096} ≈ 0.000244$$ Тогда вероятность, что хотя бы на 1 доске он будет играть белыми: $$P(\text{хотя бы 1 белая}) = 1 - P_{12}(0) = 1 - \frac{1}{4096} = \frac{4095}{4096} ≈ 0.9998$$ г) По крайней мере на 2 досках = 1 - (вероятность 0 или 1) $$P(0) = C_{12}^0 * (0.5)^0 * (0.5)^{12} = (0.5)^{12} = \frac{1}{4096}$$ $$P(1) = C_{12}^1 * (0.5)^1 * (0.5)^{11} = 12 * (0.5)^{12} = \frac{12}{4096}$$ $$P(>=2) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - \frac{1}{4096} - \frac{12}{4096} = 1 - \frac{13}{4096} = \frac{4083}{4096} = 0.9968$$ Ответ: а) ≈ 0.0537, б) ≈ 0.1934, в) ≈ 0.9998, г) ≈ 0.9968