6. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств \begin{cases} x^2 + y^2 \le 16 \\ y \ge x \end{cases}. Найдите площадь полученной фигуры.

**Решение:** Первое неравенство $$x^2 + y^2 \le 16$$ описывает круг с центром в начале координат и радиусом $$r = \sqrt{16} = 4$$. Второе неравенство $$y \ge x$$ описывает полуплоскость, лежащую выше прямой $$y = x$$. Система неравенств описывает сектор круга, ограниченный прямой $$y = x$$. Угол сектора равен $$180 - 45 = 135 = 3\pi/4$$. Таким образом, площадь сектора равна $$\frac{1}{4}$$ площади круга. Площадь круга $$S = \pi r^2 = \pi (4)^2 = 16\pi$$. Тогда Площадь полукруга, где $$y \ge x$$: Площадь сектора = \(\frac{3}{4} \times 16\pi \) = \(12\pi\) **Ответ:** Площадь полученной фигуры равна $$8\pi$$.