Известно, что \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Найдите \( \cos \alpha \).

Решение:

1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
2. Подставим известное значение \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \( (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \cos^2 \alpha = 1 \).
3. Возведём в квадрат: \( \frac{2}{4} + \cos^2 \alpha = 1 \), что упрощается до \( \frac{1}{2} + \cos^2 \alpha = 1 \).
4. Выразим \( \cos^2 \alpha \): \( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} \) \( \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \).
5. Извлечём квадратный корень из обеих частей: \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \).
6. Учитывая условие \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \( \alpha \) находится в первой четверти, где косинус положителен.
7. Следовательно, \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \).