Решите рациональное уравнение: \( x = \frac{-6x + 21}{x - 10} \)

Решение:

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( x - \frac{-6x + 21}{x - 10} = 0 \).
2. Приведём к общему знаменателю \( x - 10 \): \[ \frac{x(x - 10) - (-6x + 21)}{x - 10} = 0 \].
3. Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{x^2 - 10x + 6x - 21}{x - 10} = 0 \].
4. Упростим числитель: \[ \frac{x^2 - 4x - 21}{x - 10} = 0 \].
5. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим квадратное уравнение \( x^2 - 4x - 21 = 0 \).
6. Найдем дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \).
7. Найдем корни: \( x_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7 \), \( x_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = -3 \).
8. Проверим условие \( x - 10 \neq 0 \). Для \( x_1 = 7 \), \( 7 - 10 = -3 \neq 0 \). Для \( x_2 = -3 \), \( -3 - 10 = -13 \neq 0 \). Оба корня подходят.

Ответ: \( x = 7, x = -3 \).