Решите показательное уравнение: \( (\frac{1}{3})^{x - 7} = 27^x \)

Решение:

1. Приведём обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что \( 27 = 3^3 \) и \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \).
2. Подставим это в уравнение: \( (3^{-1})^{x - 7} = (3^3)^x \).
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 3^{-1 \cdot (x - 7)} = 3^{3x} \).
4. Упростим показатель слева: \( 3^{-x + 7} = 3^{3x} \).
5. Поскольку основания равны, приравняем показатели степеней: \( -x + 7 = 3x \).
6. Решим линейное уравнение: \( 7 = 3x + x \) \( 7 = 4x \) \( x = \frac{7}{4} \).

Ответ: \( x = \frac{7}{4} \).