Камень бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. На какой высоте от точки бросания кинетическая энергия камня будет в 4 раза меньше его потенциальной энергии?

Дано:

• Начальная скорость, \( v_0 = 20 \text{ м/с} \)
• Ускорение свободного падения, \( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \) (примем \( g=10 \text{ м/с}^2 \) для удобства)

Найти:

• Высота, \( h \), на которой \( E_k = \frac{1}{4} E_p \)

Решение:

По закону сохранения энергии, полная механическая энергия тела остается постоянной (пренебрегаем сопротивлением воздуха).

Начальная полная энергия (на уровне броска, \( h=0 \), \( E_p=0 \)):

\[ E_{полная} = E_{k0} + E_{p0} = \frac{1}{2} m v_0^2 + 0 = \frac{1}{2} m (20 \text{ м/с})^2 = \frac{1}{2} m (400) = 200m \quad (\text{Дж}) \]

На высоте \( h \) полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

\[ E_{полная} = E_k + E_p \]

По условию, на этой высоте \( E_k = \frac{1}{4} E_p \). Подставим это в уравнение полной энергии:

\[ E_{полная} = \frac{1}{4} E_p + E_p = \frac{5}{4} E_p \]

Теперь приравняем начальную полную энергию к полной энергии на высоте \( h \):

\[ 200m = \frac{5}{4} E_p \]

Подставим выражение для потенциальной энергии \( E_p = mgh \):

\[ 200m = \frac{5}{4} (mgh) \]

Сократим массу \( m \):

\[ 200 = \frac{5}{4} gh \]

Выразим \( h \):

\[ h = \frac{200 \times 4}{5g} = \frac{800}{5g} = \frac{160}{g} \]

Используя \( g=10 \text{ м/с}^2 \):

\[ h = \frac{160}{10 \text{ м/с}^2} = 16 \text{ м} \]

Ответ: На высоте 16 м кинетическая энергия камня будет в 4 раза меньше его потенциальной энергии.