Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. На какой высоте его кинетическая энергия будет равна потенциальной?

Дано:

• Начальная скорость, \( v_0 = 20 \text{ м/с} \)
• Ускорение свободного падения, \( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \) (примем \( g=10 \text{ м/с}^2 \) для удобства)

Найти:

• Высота, \( h \), на которой \( E_k = E_p \)

Решение:

По закону сохранения энергии, полная механическая энергия тела (сумма кинетической и потенциальной) остается постоянной, если нет внешних сил (например, сопротивления воздуха).

Начальная полная энергия (на уровне броска, где \( h=0 \) и \( E_p=0 \)):

\[ E_{полная} = E_{k0} + E_{p0} = \frac{1}{2} m v_0^2 + 0 = \frac{1}{2} m (20 \text{ м/с})^2 = \frac{1}{2} m (400 \text{ м}^2/\text{с}^2) = 200m \quad (\text{Дж}) \]

На высоте \( h \) кинетическая энергия равна \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), а потенциальная энергия равна \( E_p = mgh \).

По условию, на некоторой высоте \( h \) кинетическая энергия равна потенциальной:

\[ E_k = E_p \]

Подставим выражения для энергии:

\[ \frac{1}{2} m v^2 = mgh \]

Сократим массу \( m \) (так как она не равна нулю):

\[ \frac{1}{2} v^2 = gh \]

Теперь используем закон сохранения энергии. Полная энергия на высоте \( h \) равна начальной полной энергии:

\[ E_k + E_p = E_{полная} \]

Так как \( E_k = E_p \), то:

\[ 2 E_p = E_{полная} \]

\[ 2 mgh = 200m \]

Сократим \( m \) и двойку:

\[ gh = 100 \]

Теперь найдем высоту \( h \), используя \( g=10 \text{ м/с}^2 \):

\[ h = \frac{100}{g} = \frac{100}{10 \text{ м/с}^2} = 10 \text{ м} \]

Ответ: Кинетическая энергия будет равна потенциальной на высоте 10 м.