10. Корни х₁ и х₂ уравнения х² – 7х + q = 0 удовлетворяют равен- ству 5х₁ – 3х₂ = 11. Найдите корни уравнения и свободный член q.

Дано уравнение $$x^2 - 7x + q = 0$$ и условие $$5x_1 - 3x_2 = 11$$. Из теоремы Виета следует, что:

$$x_1 + x_2 = 7$$

$$x_1x_2 = q$$

У нас есть система уравнений:

$$x_1 + x_2 = 7$$

$$5x_1 - 3x_2 = 11$$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3:

$$3x_1 + 3x_2 = 21$$

Теперь сложим это уравнение со вторым:

$$5x_1 - 3x_2 + 3x_1 + 3x_2 = 11 + 21$$

$$8x_1 = 32$$

$$x_1 = 4$$

Теперь найдем $$x_2$$:

$$x_2 = 7 - x_1 = 7 - 4 = 3$$

Теперь найдем $$q$$:

$$q = x_1x_2 = 4 \cdot 3 = 12$$

Ответ: $$x_1 = 4$$, $$x_2 = 3$$, q = 12