8. Найдите сумму квадратов корней уравнения 4х² – 9x – 1 = 0.

Нам нужно найти $$x_1^2 + x_2^2$$ для уравнения $$4x^2 - 9x - 1 = 0$$. Разделим уравнение на 4, чтобы получить приведенное уравнение: $$x^2 - \frac{9}{4}x - \frac{1}{4} = 0$$.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = \frac{9}{4}$$

$$x_1x_2 = -\frac{1}{4}$$

Теперь преобразуем выражение $$x_1^2 + x_2^2$$:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$$

Подставляем значения:

$$x_1^2 + x_2^2 = (\frac{9}{4})^2 - 2(-\frac{1}{4}) = \frac{81}{16} + \frac{2}{4} = \frac{81}{16} + \frac{8}{16} = \frac{89}{16}$$

Ответ: 89/16