9. Корни уравнения х² – 16х + q = 0 относятся как 3: 5. Найдите корни уравнения и свободный член q.

Пусть корни уравнения $$x^2 - 16x + q = 0$$ равны 3k и 5k, где k - некоторое число.

По теореме Виета, сумма корней равна $$x_1 + x_2 = 3k + 5k = 8k$$, что равно 16 (коэффициент при x с противоположным знаком).

Следовательно, $$8k = 16$$, откуда $$k = 2$$. Значит, корни уравнения: $$x_1 = 3 \cdot 2 = 6, x_2 = 5 \cdot 2 = 10$$.

Свободный член q равен произведению корней: $$q = x_1 \cdot x_2 = 6 \cdot 10 = 60$$.

Ответ: корни 6 и 10, q = 60