231 Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

AM - медиана, следовательно, BM = MC.

AM = BC / 2, следовательно, AM = BM = MC.

Рассмотрим треугольник ABM. AM = BM, следовательно, треугольник ABM равнобедренный, и ∠BAM = ∠ABM.

Рассмотрим треугольник AMC. AM = MC, следовательно, треугольник AMC равнобедренный, и ∠MAC = ∠ACM.

∠BAC = ∠BAM + ∠MAC.

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°.

∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180°

∠ABM + ∠ACM + ∠BAM + ∠MAC = 180°

∠ABM + ∠ACM + ∠ABM + ∠ACM = 180°

2 * (∠ABM + ∠ACM) = 180°

∠ABM + ∠ACM = 90°

∠BAC = 180° - (∠ABM + ∠ACM) = 180° - 90° = 90°.

Следовательно, треугольник ABC прямоугольный.

Ответ: доказано