126. Медианы прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°) пересекаются в точке М. Найдите гипотенузу АВ, если СМ = 6 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Медианы треугольника пересекаются в точке M. Длина отрезка CM = 6 см. Требуется найти длину гипотенузы AB.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Обозначим медиану, проведенную из вершины C к гипотенузе AB, как CD. Тогда $$CD = \frac{1}{2}AB$$.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, $$\frac{CM}{MD} = \frac{2}{1}$$.

Тогда, $$CM = \frac{2}{3}CD$$.

Следовательно, $$CD = \frac{3}{2}CM = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9 \text{ см}$$.

Так как $$CD = \frac{1}{2}AB$$, то $$AB = 2 \cdot CD = 2 \cdot 9 = 18 \text{ см}$$.

Ответ: 18 см.