128. Отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Найдите: 1) отрезки AD и DC, если АВ = 8 см, ВС = 14 см, АC = = 11 см; 2) сторону ВС, если AD : DC = 2 : 3, AB = = 18 см; 3) стороны АВ и ВС, если АВ + ВС = 56 см, AD = 9 см, DC = 15 см.

1) Пусть дан треугольник ABC, где AB = 8 см, BC = 14 см, AC = 11 см. Отрезок BD — биссектриса треугольника. Требуется найти длины отрезков AD и DC.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Значит, $$\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$$.

Пусть AD = x, тогда DC = AC - x = 11 - x.

Тогда $$\frac{x}{11 - x} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$$.

Следовательно, $$7x = 4(11 - x)$$, $$7x = 44 - 4x$$, $$11x = 44$$, $$x = 4 \text{ см}$$.

Тогда AD = 4 см, DC = 11 - 4 = 7 см.

2) Пусть дан треугольник ABC, где AB = 18 см, $$\frac{AD}{DC} = \frac{2}{3}$$. Отрезок BD — биссектриса треугольника. Требуется найти длину стороны BC.

Пусть AD = 2x, DC = 3x. Тогда AC = AD + DC = 2x + 3x = 5x.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Значит, $$\frac{BC}{AB} = \frac{DC}{AD}$$.

Тогда $$\frac{BC}{18} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$$, $$BC = \frac{3}{2} \cdot 18 = 27 \text{ см}$$.

3) Пусть дан треугольник ABC, где AD = 9 см, DC = 15 см, AB + BC = 56 см. Отрезок BD — биссектриса треугольника. Требуется найти длины сторон AB и BC.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Значит, $$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$$.

Тогда $$\frac{AB}{BC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$$, $$AB = \frac{3}{5}BC$$.

Так как AB + BC = 56 см, то $$\frac{3}{5}BC + BC = 56$$, $$\frac{8}{5}BC = 56$$, $$BC = 56 \cdot \frac{5}{8} = 35 \text{ см}$$.

Тогда $$AB = \frac{3}{5}BC = \frac{3}{5} \cdot 35 = 21 \text{ см}$$.

Ответ: 1) AD = 4 см, DC = 7 см; 2) BC = 27 см; 3) AB = 21 см, BC = 35 см.