127. В равнобедренном треугольнике АBC (AB = BC) сере- дина боковой стороны удалена от основания на 6 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан тре- угольника АВС до вершины В.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Середина боковой стороны AB (точка D) удалена от основания AC на 6 см. Нужно найти расстояние от точки пересечения медиан треугольника ABC (точки M) до вершины B.

Пусть E – середина основания AC. Тогда BE – медиана, высота и биссектриса треугольника ABC, поскольку треугольник равнобедренный.

DK – перпендикуляр, опущенный из середины боковой стороны на основание AC, и по условию DK = 6 см.

Так как DK || BE, то треугольники ADK и ABE подобны по двум углам (угол A общий, углы ADK и ABE прямые). Следовательно, $$\frac{DK}{BE} = \frac{AD}{AB}$$.

Так как D – середина AB, то $$\frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$$, и $$\frac{DK}{BE} = \frac{1}{2}$$.

Тогда $$BE = 2 \cdot DK = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}$$.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, $$\frac{BM}{ME} = \frac{2}{1}$$.

Тогда $$BM = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 \text{ см}$$.

Ответ: 8 см