123. Основания трапеции равны 10 см и 6 см. Боковую сто- рону трапеции разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основа- ниям. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 10 см и BC = 6 см — основания. Боковая сторона AB разделена на 4 равных отрезка точками E, F и G. Через эти точки проведены прямые EH, FI и GJ, параллельные основаниям трапеции. Требуется найти длины отрезков EH, FI и GJ.

Так как EH, FI и GJ параллельны основаниям трапеции, то они также параллельны друг другу.

Отрезок EH является средней линией трапеции ABСD, поэтому $$EH = \frac{AD + BC}{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8 \text{ см}$$.

Так как боковая сторона AB разделена на 4 равных отрезка, то $$AE = EF = FG = GB$$. Значит, $$\frac{AE}{AB} = \frac{1}{4}$$, $$\frac{AF}{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$, $$\frac{AG}{AB} = \frac{3}{4}$$.

Применим теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через концы их провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки.

Следовательно, $$\frac{AH}{AD} = \frac{AI}{AD} = \frac{AJ}{AD} = \frac{1}{4}$$.

Отрезок FI является отрезком прямой, параллельной основаниям трапеции, и проходит через середину боковой стороны AB. Следовательно, FI является средней линией трапеции ABCD, и $$FI = \frac{AD + BC}{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8 \text{ см}$$.

Отрезок GJ проходит через точку G, которая делит боковую сторону AB в отношении 3:1, считая от вершины A. Следовательно, $$GJ = BC + \frac{3}{4}(AD - BC) = 6 + \frac{3}{4}(10 - 6) = 6 + \frac{3}{4} \cdot 4 = 6 + 3 = 9 \text{ см}$$.

Ответ: 8 см, 8 см, 9 см.