124. Сторону ВС треугольника АВС разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, парал- лельные стороне АВ. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику АВС, если АВ = 12 см.

Пусть дан треугольник ABC, в котором сторона BC разделена на 3 равных отрезка точками D и E, то есть $$BD = DE = EC$$. Через эти точки проведены прямые DF и EG, параллельные стороне AB. Сторона AB = 12 см. Требуется найти длины отрезков DF и EG.

Так как $$BD = DE = EC$$, то $$\frac{BD}{BC} = \frac{1}{3}$$, $$\frac{BE}{BC} = \frac{2}{3}$$.

Применим теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через концы их провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки.

Тогда, $$\frac{BF}{BA} = \frac{BG}{BA} = \frac{1}{3}$$.

По теореме о пропорциональных отрезках: если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Следовательно, $$\frac{DF}{AB} = \frac{BD}{BC}$$, $$\frac{EG}{AB} = \frac{BE}{BC}$$.

Тогда, $$DF = AB \cdot \frac{BD}{BC} = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4 \text{ см}$$, $$EG = AB \cdot \frac{BE}{BC} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8 \text{ см}$$.

Ответ: 4 см, 8 см.