25. На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.

Если на каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба, то это означает, что центры этих окружностей совпадают с вершинами углов ромба. Пусть сторона ромба равна a.

Центр первой окружности находится в одной из вершин ромба, а две другие вершины лежат на этой окружности. Тогда расстояние от центра первой окружности до этих двух вершин равно радиусу окружности, то есть 3.

Аналогично, центр второй окружности находится в одной из вершин ромба, а две другие вершины лежат на этой окружности. Тогда расстояние от центра второй окружности до этих двух вершин равно радиусу окружности, то есть 4.

Рассмотрим ромб ABCD с центром в точке O. Пусть O - центр первой окружности радиуса 3, тогда расстояние от O до вершин A и B равно 3. Пусть O - центр второй окружности радиуса 4, тогда расстояние от O до вершин C и D равно 4.

Так как ромб - это параллелограмм с равными сторонами, то все стороны ромба равны a. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Тогда треугольники AOB, BOC, COD и DOA - прямоугольные и равны друг другу.

Тогда сторона ромба a равна гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого катеты равны 3 и 4:

$$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Ответ: 5