22. Постройте график функции y = x² + 11x − 4|x + 6| + 30 и определите, при каких зна- чениях m прямая у = m имеет с графиком три общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 + 11x - 4|x+6| + 30$$

1) Если $$x \ge -6$$, то $$|x+6| = x+6$$

$$y = x^2 + 11x - 4(x+6) + 30 = x^2 + 11x - 4x - 24 + 30 = x^2 + 7x + 6$$

$$y = x^2 + 7x + 6$$ при $$x \ge -6$$

Найдем вершину параболы:

$$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2} = -3,5$$

$$y_v = (-3,5)^2 + 7(-3,5) + 6 = 12,25 - 24,5 + 6 = -6,25$$

Ветви параболы направлены вверх.

2) Если $$x < -6$$, то $$|x+6| = -(x+6)$$.

$$y = x^2 + 11x + 4(x+6) + 30 = x^2 + 11x + 4x + 24 + 30 = x^2 + 15x + 54$$

$$y = x^2 + 15x + 54$$ при $$x < -6$$

Найдем вершину параболы:

$$x_v = -\frac{15}{2} = -7,5$$

$$y_v = (-7,5)^2 + 15(-7,5) + 54 = 56,25 - 112,5 + 54 = -2,25$$

Ветви параболы направлены вверх.

Значение функции в точке стыка $$x = -6$$:

$$y(-6) = (-6)^2 + 7(-6) + 6 = 36 - 42 + 6 = 0$$

$$y(-6) = (-6)^2 + 15(-6) + 54 = 36 - 90 + 54 = 0$$

График функции состоит из двух частей параболы, соединенных в точке $$(-6; 0)$$

Прямая $$y = m$$ имеет три общие точки с графиком, когда она проходит через вершину одной из парабол.

Тогда $$m = -6,25$$ или $$m = -2,25$$

Ответ: -6,25; -2,25