307 На рисунке 152 АВ = AC, AP=PQ = QR = = RB = ВС. Найдите угол А.

Пусть \[\angle BAC = x\]

Так как AB = AC, то треугольник ABC равнобедренный, и \[\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - x}{2} = 90^\circ - \frac{x}{2}\]

Так как AP = PQ = QR = RB = BC, то треугольники APQ, PQR, RQB и BQC равнобедренные.

Тогда \[\angle APQ = \angle AQP, \angle PQR = \angle PRQ, \angle QRB = \angle QBR, \angle BQC = \angle BCQ\]

Пусть \[\angle BQC = y\]

Тогда \[\angle QBC = \angle QCB = y\]

Следовательно, \[\angle BQR = 180^\circ - 2y\]

Тогда \[\angle QRB = y\]

Тогда \[\angle ARQ = 180^\circ - y\]

Так как \(\angle ACB = 90^\circ - \frac{x}{2}\), то \(\angle QCB = y = 90^\circ - \frac{x}{2}\)

Следовательно, \(\angle A = 20^\circ\)

Ответ: угол A равен 20 градусам.