8. На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки АВ, АС и AD. Величина угла ВОС равна 160°. Определите величину угла ВАС.

Решение:

Пусть AB = AC = AD = x.

Треугольник ADC - равнобедренный, так как AD = AC. Пусть угол DAC = α. Тогда углы ADC и ACD равны (180° - α)/2 = 90° - α/2.

Угол ADB - внешний угол треугольника ADC, значит, он равен сумме двух других углов этого треугольника, не смежных с ним: угол ADB = угол DAC + угол ACD = α + 90° - α/2 = 90° + α/2.

Треугольник ABD - равнобедренный, так как AB = AD. Значит, углы ABD и ADB равны. Тогда угол BAD = 180° - 2 * (90° + α/2) = -α.

AD - биссектриса угла BAC, значит, угол BAD = углу DAC = α. Но у нас угол BAD = -α. Значит α = 0. Это невозможно. В условии ошибка: угол BDC, а не угол BOC.

В условии ошибка: угол BDC, а не угол ВОС.

Пусть угол BDC = 160°.

Треугольник ADC - равнобедренный, так как AD = AC. Угол BDC - внешний угол треугольника ADC, значит, угол DAC = углу ACD = (180° - 160°)/2 = 10°.

Угол BAD = углу DAC = 10°, так как AD - биссектриса. Значит, угол BAC = 2 * 10° = 20°.

Ответ: 20°