8. Отрезки АВ и СD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ=18, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 40 и 9.

Дано: окружность, АВ и СD – хорды, АВ = 18, расстояние от центра окружности до хорды АВ = 40, расстояние от центра окружности до хорды CD = 9.

Найти: CD.

Решение:

1) Пусть О – центр окружности, ОМ – расстояние от центра до хорды АВ, ON – расстояние от центра до хорды CD.

2) OM ┴ АВ, ON ┴ CD.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA. По теореме Пифагора: ОА² = ОМ² + АМ² = 40² + (18/2)² = 1600 + 81 = 1681.

4) OA = √1681 = 41 (OA – радиус окружности).

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник OND. По теореме Пифагора: OD² = ON² + DN².

6) DN² = OD² - ON² = 41² - 9² = 1681 - 81 = 1600.

7) DN = √1600 = 40.

8) CD = 2 * DN = 2 * 40 = 80.

Ответ: 80