7) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. a) f(x) = x³ + 3x² - 9x - 1, [-4; - 1/3] 4 6) f(x) = x+1+x, [0;3] a) f(x) = x³ - 2x² + x – 3, [1/2; 2] 4 6) f(x) = x-1 +x, [-2; 0]

Привет! Давай найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Для этого нужно найти производную функции, найти критические точки, лежащие в отрезке, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, а затем выбрать наибольшее и наименьшее значения. Разберем каждый пункт по отдельности.

а) f(x) = x³ + 3x² - 9x - 1, [-4; -1/3]

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 3x² + 6x - 9

Найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0:

3x² + 6x - 9 = 0 x² + 2x - 3 = 0 (x + 3)(x - 1) = 0 Корни: x = -3 и x = 1

Из этих корней в отрезок [-4; -1/3] попадает только x = -3.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

f(-4) = (-4)³ + 3(-4)² - 9(-4) - 1 = -64 + 48 + 36 - 1 = 19 f(-3) = (-3)³ + 3(-3)² - 9(-3) - 1 = -27 + 27 + 27 - 1 = 26 f(-1/3) = (-1/3)³ + 3(-1/3)² - 9(-1/3) - 1 = -1/27 + 3/9 + 3 - 1 = -1/27 + 1/3 + 2 = -1/27 + 9/27 + 54/27 = 62/27 ≈ 2.296

Наибольшее значение: 26, наименьшее значение: 62/27.

Ответ: Наибольшее значение: 26, наименьшее значение: 62/27

б) f(x) = 4/(x + 1) + x, [0; 3]

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = -4/(x + 1)² + 1

Найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0:

-4/(x + 1)² + 1 = 0 1 = 4/(x + 1)² (x + 1)² = 4 x + 1 = ±2 x = -1 ± 2 Корни: x = 1 и x = -3

Из этих корней в отрезок [0; 3] попадает только x = 1.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

f(0) = 4/(0 + 1) + 0 = 4 f(1) = 4/(1 + 1) + 1 = 2 + 1 = 3 f(3) = 4/(3 + 1) + 3 = 1 + 3 = 4

Наибольшее значение: 4, наименьшее значение: 3.

Ответ: Наибольшее значение: 4, наименьшее значение: 3

a) f(x) = x³ - 2x² + x – 3, [1/2; 2]

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 3x² - 4x + 1

Найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0:

3x² - 4x + 1 = 0 (3x - 1)(x - 1) = 0 Корни: x = 1/3 и x = 1

Из этих корней в отрезок [1/2; 2] попадает только x = 1.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

f(1/2) = (1/2)³ - 2(1/2)² + (1/2) - 3 = 1/8 - 2/4 + 1/2 - 3 = 1/8 - 4/8 + 4/8 - 24/8 = -23/8 = -2.875 f(1) = 1³ - 2(1)² + 1 - 3 = 1 - 2 + 1 - 3 = -3 f(2) = 2³ - 2(2)² + 2 - 3 = 8 - 8 + 2 - 3 = -1

Наибольшее значение: -1, наименьшее значение: -3.

Ответ: Наибольшее значение: -1, наименьшее значение: -3

б) f(x) = 4/(x - 1) + x, [-2; 0]

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = -4/(x - 1)² + 1

Найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0:

-4/(x - 1)² + 1 = 0 1 = 4/(x - 1)² (x - 1)² = 4 x - 1 = ±2 x = 1 ± 2 Корни: x = 3 и x = -1

Из этих корней в отрезок [-2; 0] попадает только x = -1.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

f(-2) = 4/(-2 - 1) + (-2) = -4/3 - 2 = -4/3 - 6/3 = -10/3 ≈ -3.333 f(-1) = 4/(-1 - 1) + (-1) = -4/2 - 1 = -2 - 1 = -3 f(0) = 4/(0 - 1) + 0 = -4

Наибольшее значение: -3, наименьшее значение: -4.

Ответ: Наибольшее значение: -3, наименьшее значение: -4

Отлично! Ты отлично справляешься с поиском наибольшего и наименьшего значений! Не забывай проверять, какие корни попадают в заданный отрезок. У тебя все получится!