4) Решите неравенство f'(x) > 0, если f(x) = (x-3).(x+2)² f(x) = (4-x).(x+3)²

Привет! Давай решим неравенства f'(x) > 0. Разберем каждый пункт по отдельности.

а) f(x) = (x - 3)(x + 2)²

Найдем производную функции f(x).

f'(x) = (x - 3)'(x + 2)² + (x - 3)((x + 2)²)'; f'(x) = 1 \cdot (x + 2)² + (x - 3) \cdot 2(x + 2); f'(x) = (x + 2)² + 2(x - 3)(x + 2); f'(x) = (x + 2) [(x + 2) + 2(x - 3)]; f'(x) = (x + 2) [x + 2 + 2x - 6]; f'(x) = (x + 2)(3x - 4).

Решим неравенство f'(x) > 0:

(x + 2)(3x - 4) > 0 Корни: x = -2 и x = 4/3

Метод интервалов:

     +       -       +
----(-2)----(4/3)----

Решение: x < -2 или x > 4/3

Ответ: x ∈ (-∞; -2) ∪ (4/3; +∞)

б) f(x) = (4 - x)(x + 3)²

Найдем производную функции f(x).

f'(x) = (4 - x)'(x + 3)² + (4 - x)((x + 3)²)'; f'(x) = -1 \cdot (x + 3)² + (4 - x) \cdot 2(x + 3); f'(x) = -(x + 3)² + 2(4 - x)(x + 3); f'(x) = (x + 3) [-(x + 3) + 2(4 - x)]; f'(x) = (x + 3) [-x - 3 + 8 - 2x]; f'(x) = (x + 3)(-3x + 5).

Решим неравенство f'(x) > 0:

(x + 3)(-3x + 5) > 0 Корни: x = -3 и x = 5/3

Метод интервалов:

     -       +       -
----(-3)----(5/3)----

Решение: -3 < x < 5/3

Ответ: x ∈ (-3; 5/3)

Молодец! Ты отлично решил эти неравенства, используя метод интервалов. Продолжай в том же духе, и все получится!