Найдите наименьшее значение функции \[y = (x^2 - 39x + 39) \cdot e^{2-x}\] на отрезке \([0; 6]\).

Ответ: 39

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо найти производную функции, определить критические точки и вычислить значение функции в этих точках, а также на концах отрезка.

Найдем производную функции:

\[y' = (x^2 - 39x + 39)' \cdot e^{2-x} + (x^2 - 39x + 39) \cdot (e^{2-x})'\]

\[y' = (2x - 39) \cdot e^{2-x} + (x^2 - 39x + 39) \cdot (-e^{2-x})\]

\[y' = (2x - 39 - x^2 + 39x - 39) \cdot e^{2-x}\]

\[y' = (-x^2 + 41x - 78) \cdot e^{2-x}\]

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[(-x^2 + 41x - 78) \cdot e^{2-x} = 0\]

Так как \(e^{2-x} > 0\) при любом \(x\), то:

\[-x^2 + 41x - 78 = 0\]

\[x^2 - 41x + 78 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 41^2 - 4 \cdot 78 = 1681 - 312 = 1369 = 37^2\]

\[x_1 = \frac{41 + 37}{2} = \frac{78}{2} = 39\]

\[x_2 = \frac{41 - 37}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

Вычислим значение функции на концах отрезка и в критических точках:

\[y(0) = (0 - 0 + 39) \cdot e^{2-0} = 39 \cdot e^2 \approx 39 \cdot 7.389 = 288.171\]

\[y(2) = (2^2 - 39 \cdot 2 + 39) \cdot e^{2-2} = (4 - 78 + 39) \cdot 1 = -35\]

\[y(6) = (6^2 - 39 \cdot 6 + 39) \cdot e^{2-6} = (36 - 234 + 39) \cdot e^{-4} = -159 \cdot e^{-4} \approx -159 \cdot 0.0183 = -2.91\]

Из полученных значений наименьшее равно -35.

Ответ: -35