4. Найдите площадь кольца, если длина хорды \(AB = \frac{8}{\sqrt{\pi}}\)

Площадь кольца равна разности площадей большего и меньшего кругов: $$S = \pi R^2 - \pi r^2$$, где R - радиус большего круга, r - радиус меньшего круга.

Хорда AB касается меньшего круга. Опустим радиус из центра большего круга к точке B. Получим прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза - радиус большего круга R
• Один катет - радиус меньшего круга r
• Второй катет - половина хорды AB, т.е. $$\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{\pi}} = \frac{4}{\sqrt{\pi}}$$

По теореме Пифагора: $$R^2 = r^2 + (\frac{4}{\sqrt{\pi}})^2 = r^2 + \frac{16}{\pi}$$.

Тогда площадь кольца: $$S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (r^2 + \frac{16}{\pi} - r^2) = \pi \cdot \frac{16}{\pi} = 16$$.

Ответ: 16