1183 Найдите площадь S правильного п-угольника, если: а) п = 4, R = 3√2 см; б) n=3, P=24 см; в) п=6, r=9 см; г) п=8, r = 5√3 см.

Решение:

a) n = 4, R = 3√2 см

Для правильного четырехугольника (квадрата) площадь равна $$S = 2R^2 = 2 \cdot (3\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 9 \cdot 2 = 36 \text{ см}^2$$.

б) n = 3, P = 24 см

Сторона правильного треугольника равна $$a = \frac{P}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ см}$$.

Площадь правильного треугольника равна $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$$.

в) n = 6, r = 9 см

Для правильного шестиугольника площадь равна $$S = 2\sqrt{3}r^2 = 2\sqrt{3} \cdot 9^2 = 162\sqrt{3} \text{ см}^2$$.

г) n = 8, r = 5√3 см

Для правильного восьмиугольника $$S = 8r^2(\sqrt{2} - 1) = 8(5\sqrt{3})^2(\sqrt{2} - 1) = 8 \cdot 25 \cdot 3(\sqrt{2} - 1) = 600(\sqrt{2} - 1) \text{ см}^2$$.

Ответ: а) 36, б) 16√3, в) 162√3, г) 600(√2 - 1) см².