6. Найдите, при каком значении переменной x числа x + 11; x – 5; 2x - 10 будут последовательными членами геометрической прогрессии.

Пошаговое решение:

Составим уравнение:

\(\frac{x - 5}{x + 11} = \frac{2x - 10}{x - 5}\)

Решаем уравнение:

• (x - 5)² = (2x - 10)(x + 11)
• x² - 10x + 25 = 2x² + 22x - 10x - 110
• x² - 10x + 25 = 2x² + 12x - 110
• 0 = x² + 22x - 135

Решаем квадратное уравнение x² + 22x - 135 = 0:

• D = 22² - 4 * 1 * (-135) = 484 + 540 = 1024
• x₁ = \(\frac{-22 + \sqrt{1024}}{2}\) = \(\frac{-22 + 32}{2}\) = \(\frac{10}{2}\) = 5
• x₂ = \(\frac{-22 - \sqrt{1024}}{2}\) = \(\frac{-22 - 32}{2}\) = \(\frac{-54}{2}\) = -27

Проверяем:

• Если x = 5: 16, 0, 0 (не является геометрической прогрессией)
• Если x = -27: -16, -32, -64 (является геометрической прогрессией)

Ответ: -27