10. Три числа, сумма которых равна 12, являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Найдите эти числа, если известно, что при увеличении их соответственно на 1, 2 и 11 будут получены последовательные члены геометрической прогрессии.

Пошаговое решение:

1. Пусть члены арифметической прогрессии: a - d, a, a + d
2. Сумма: (a - d) + a + (a + d) = 12 => 3a = 12 => a = 4
3. Новые числа: 4 - d + 1, 4 + 2, 4 + d + 11, т.е. 5 - d, 6, 15 + d
4. Составляем уравнение для геометрической прогрессии: \(\frac{6}{5 - d} = \frac{15 + d}{6}\)
5. 36 = (5 - d)(15 + d)
6. 36 = 75 + 5d - 15d - d²
7. d² + 10d - 39 = 0

Решаем квадратное уравнение:

• D = 10² - 4 * 1 * (-39) = 100 + 156 = 256
• d₁ = \(\frac{-10 + \sqrt{256}}{2}\) = \(\frac{-10 + 16}{2}\) = 3
• d₂ = \(\frac{-10 - \sqrt{256}}{2}\) = \(\frac{-10 - 16}{2}\) = -13 (не подходит, т.к. прогрессия возрастающая)

Тогда исходные числа: 4 - 3, 4, 4 + 3, т.е. 1, 4, 7

Ответ: 1, 4, 7