578. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической про- грессии \((c_n)\), если \(c_7 = 18,5\) и \(c_{17} = -26,5\).

Решение:

Дано: арифметическая прогрессия, \( c_7 = 18.5 \), \( c_{17} = -26.5 \). Необходимо найти сумму первых двадцати членов, то есть \( S_{20} \).

Сумма \( n \) первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \). В нашем случае \( S_{20} = \frac{c_1 + c_{20}}{2} \cdot 20 \).

Используем формулу \( a_n = a_1 + (n - 1)d \):

• \( c_7 = c_1 + 6d = 18.5 \);
• \( c_{17} = c_1 + 16d = -26.5 \).

Выразим \( c_1 \) из первого уравнения: \( c_1 = 18.5 - 6d \). Подставим во второе уравнение:

\( 18.5 - 6d + 16d = -26.5 \), \( 10d = -26.5 - 18.5 \), \( 10d = -45 \), \( d = -4.5 \).

Тогда \( c_1 = 18.5 - 6(-4.5) = 18.5 + 27 = 45.5 \).

Найдем \( c_{20} \): \( c_{20} = c_1 + 19d = 45.5 + 19(-4.5) = 45.5 - 85.5 = -40 \).

Подставим в формулу суммы: \( S_{20} = \frac{45.5 + (-40)}{2} \cdot 20 = \frac{5.5}{2} \cdot 20 = 5.5 \cdot 10 = 55 \).

Ответ: 55