574. Найдите: а) сумму \(2 + 4 + 6 + ... + 2n\), слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от 2 до \(2n\); б) сумму \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)\), слагаемыми которой явля- ются все нечётные натуральные числа от 1 до \(2n - 1\).

Решение:

a) Дано: сумма четных натуральных чисел от 2 до \( 2n \), то есть \( 2 + 4 + 6 + ... + 2n \). Необходимо найти эту сумму.

Это арифметическая прогрессия, где \( a_1 = 2 \), \( d = 2 \), \( a_n = 2n \).

Сумма \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

Тогда, \( S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = (1 + n) \cdot n = n(n + 1) \).

б) Дано: сумма нечетных натуральных чисел от 1 до \( 2n - 1 \), то есть \( 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) \). Необходимо найти эту сумму.

Это арифметическая прогрессия, где \( a_1 = 1 \), \( d = 2 \), \( a_n = 2n - 1 \).

Сумма \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

Тогда, \( S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2 \).

Ответ: a) \( n(n + 1) \); б) \( n^2 \).