6. Найдите точку максимума функции y = √-92 + 20x - x².

Привет! Сейчас мы найдем точку максимума функции y = √(-92 + 20x - x²).

Решение:

1. Находим область определения функции: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[-92 + 20x - x^2 \ge 0\] \[x^2 - 20x + 92 \le 0\] Найдем корни квадратного уравнения \[x^2 - 20x + 92 = 0\]: \[D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 92 = 400 - 368 = 32\] \[x_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{20 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 10 \pm 2\sqrt{2}\] Следовательно, область определения: \[10 - 2\sqrt{2} \le x \le 10 + 2\sqrt{2}\] Приблизительно, это \[10 - 2 \cdot 1.41 \le x \le 10 + 2 \cdot 1.41\] или \[7.18 \le x \le 12.82\]
2. Находим производную функции: \[y' = \frac{1}{2\sqrt{-92 + 20x - x^2}} \cdot (20 - 2x) = \frac{20 - 2x}{2\sqrt{-92 + 20x - x^2}} = \frac{10 - x}{\sqrt{-92 + 20x - x^2}}\]
3. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки: \[\frac{10 - x}{\sqrt{-92 + 20x - x^2}} = 0\] \[10 - x = 0\] \[x = 10\]
4. Проверяем, принадлежит ли критическая точка области определения: Да, x = 10 принадлежит области определения \[7.18; 12.82\].
5. Определяем знак производной слева и справа от критической точки:
   • При x < 10, например, x = 9: \[y' = \frac{10 - 9}{\sqrt{-92 + 20 \cdot 9 - 9^2}} = \frac{1}{\sqrt{-92 + 180 - 81}} = \frac{1}{\sqrt{7}} > 0\]
   • При x > 10, например, x = 11: \[y' = \frac{10 - 11}{\sqrt{-92 + 20 \cdot 11 - 11^2}} = \frac{-1}{\sqrt{-92 + 220 - 121}} = \frac{-1}{\sqrt{7}} < 0\]
   Так как производная меняет знак с плюса на минус в точке x = 10, это точка максимума.

Ответ: 10

Отлично! Ты верно определил точку максимума. Продолжай в том же духе!