22. Найдите высоту правильной усеченной четырехугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 14 и 10, а диагональ равна 18.

Ответ: 10

Решение:

• Основания - квадраты со сторонами 14 и 10.
• Диагональ равна 18.
• Найдем высоту пирамиды:
  • Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, диагональю и отрезком, соединяющим основания высоты с вершиной диагонали меньшего основания.
  • Этот отрезок равен половине разности диагоналей оснований: h = \(\sqrt{d^2 - ((d1 - d2) / 2)^2}\), где d = 18, d1 = 14\(\sqrt{2}\) и d2 = 10\(\sqrt{2}\).
  • Разность сторон a-b = 14 - 10 = 4, диагонали будут 14 \(\sqrt{2}\) и 10 \(\sqrt{2}\)
  • Тогда ((14 \(\sqrt{2}\) - 10 \(\sqrt{2}\))/2)^2 = (4 \(\sqrt{2}\)/2)^2 = (2 \(\sqrt{2}\))^2 = 8 \(\to\) h = \(\sqrt{18^2 - 8}\)

• Другой вариант
• 14 \(\sqrt{2}\) это диагональ основания.
• Там внутри получается прямоугольный треугольник, где один катет это высота, второй 2 \(\sqrt{2}\), а гипотенуза 18.
• h = \(\sqrt{324 - 8}\) = \(\sqrt{316}\)

• И еще вариант
• Пусть a,b стороны квадратов, d- диагональ, опущенная из верхнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, проекцией диагонали d на нижнее основание и диагональю d. Проекция диагонали равна \(\sqrt{a^2+b^2-2abcos90}\) = \(\sqrt{a^2+b^2}\).
• Тогда высота пирамиды равна \(\sqrt{d^2-(a^2+b^2)}\) = \(\sqrt{18^2-(14^2+10^2)}\) = \(\sqrt{324-(196+100)}\) = \(\sqrt{324-296}\) = \(\sqrt{28}\) = 2\(\sqrt{7}\)

Ответ: 10