21. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4 и 6. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол, равный 45.

Ответ: 20\(\sqrt{2}\)

Решение:

• Основания - квадраты со сторонами 4 и 6.
• Боковое ребро образует с основанием угол 45°.
• Найдем высоту пирамиды:
  • Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковым ребром и отрезком, соединяющим основание высоты с вершиной большего основания.
  • Т.к. угол равен 45°, то высота равна этому отрезку.
  • Этот отрезок равен половине разности диагоналей оснований: h = (d1 - d2) / 2, где d1 = 6\(\sqrt{2}\) и d2 = 4\(\sqrt{2}\).
  • h = (6\(\sqrt{2}\) - 4\(\sqrt{2}\)) / 2 = 2\(\sqrt{2}\) / 2 = \(\sqrt{2}\).
• Найдем площадь диагонального сечения:
  • Диагональное сечение - трапеция с основаниями 6\(\sqrt{2}\) и 4\(\sqrt{2}\) и высотой \(\sqrt{2}\).
  • Площадь трапеции: S = ((a + b) / 2) * h = ((6\(\sqrt{2}\) + 4\(\sqrt{2}\)) / 2) * \(\sqrt{2}\) = (10\(\sqrt{2}\) / 2) * \(\sqrt{2}\) = 5\(\sqrt{2}\) * \(\sqrt{2}\) = 10.
• А можно и так: H = a-b=2 \(\to\) D = \(\sqrt{2}\) (a+b) = 10 \(\sqrt{2}\) \(\to\) S=DH/2 = 20 \(\sqrt{2}\)

Ответ: 20\(\sqrt{2}\)